以弹簧振子为例讲授机械原理——的统一性
介绍
经典动力学的主要研究对象是质点和刚体，研究的重点是加速度与外力的定量关系。首先，为了描述质点和刚体的运动，我们引入了位移、速度、加速度、角位移、角速度和角加速度等运动量。这些运动和惯性的组合可以产生广义力，包括力、力矩等。广义力和广义加速度之间的关系可以由牛顿第二定律或刚体绕固定轴旋转的微分方程和刚体在平面内运动的微分方程来建立。经过数百年的发展，牛顿定律越来越完善，已广泛应用于工程领域，如航天器运动、汽车设计、流体运动、弹性体振动、碰撞与碰撞力学等。
质点和刚体运动的另一种观点是能量法。对于保守系统，应该满足机械能守恒定律，可以等价于它的运动方程。为了进一步研究多自由度复杂系统，欧拉(1707-1783)和拉格朗日(1736-1813)引入了拉格朗日方程，其特点是将广义位移和广义速度视为两个不相关的变量，从而可以推导出系统的运动方程[2-5]。从基于能量的变分法出发，利用最小作用量原理，在哈密顿作用量改变后，可以推导出拉格朗日方程。在此基础上，哈密顿(1805-1865)引入广义动量和广义坐标进行对应，从而得到具有对称性的哈密顿正则方程[6-9]。其实哈密顿正则方程也可以直接用哈密顿变分原理推导出来。从牛顿第二定律，到拉格朗日方程，再到哈密顿变分原理，力学的发展空间不断拓宽，可以解决越来越多的复杂问题。比如哈密顿原理可以应用到量子力学领域[10，11]。
可见经典动力学中涉及到很多运动规律，让初学者眼花缭乱，摸不着头脑。本文试图从教与学的角度梳理上述原则之间的语境关系。事实上，中学物理教学中大量习题为了应付高考，往往会过度刷题，导致学生对物理知识理解的碎片化。指望大学教学纠正这一点也是相当有挑战性的，因为大学也有考试。更糟糕的是，经过多轮大学学时压缩，课时不足带来的教学挑战加剧。不仅仅是很多大学生，还有少部分青年教师因为精力不足，对物理固有的逻辑统一性缺乏深入的理解。经典力学是物理教学的重要组成部分，定理的原理很多，但都是描述同一个物理现象，所以本质一定是一致的。然而，如何用简单的教学案例在最短的时间成本内展示这些原则的一致性也是教学中的一个重要命题。
本文试图通过一个弹簧振子的简单案例，串出牛顿第二定律、机械能守恒定律、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿变分原理等五个经典力学原理，来理解它们的一致性和各自的优点。通过理清上述原理之间的内在联系，学生可以学到一切，看到全局，从而熟练掌握其工程应用。
1牛顿第二定律
如图1所示，弹簧振子在水平地面上作无阻尼自由振动，其中弹簧刚度系数为k，质量块质量为m，图中坐标原点o为质量块的平衡位置。根据胡克定律，弹簧的拉力，也就是合力，与质量从平衡位置的位移x成正比，但始终与其运动方向相反，如图2所示。所以运动方程可以由牛顿第二定律得到(我们直接用牛顿第二定律表示运动方程如下):
(1)
即
(2)
其中是系统的固有频率。公式(2)是弹簧振子的经典运动方程，是一个常系数的线性齐次常微分方程，其解析解可以直接得到
(3)
其中a和b是待定系数，可以根据初始条件确定。
2机械能守恒定律
弹簧振子的运动方程，牛顿第二定律，也可以通过机械能守恒定律得到。显然，系统的动能是
(4)
弹簧势能是
(5)
系统的机械能是
(6)
机械能守恒定律是
(7)
寻求时间的指引
(8)
运动方程(2)可以简化后得到。
实际上，等式(1)的两边同时相乘得到等式(8)，然后两边积分得到等式(6)。可见牛顿第二定律的初始积分是机械能守恒定律；相反，运动方程可以通过微分机械能守恒得到。所以机械能的动能部分对应牛顿第二定律中的加速度项，势能部分对应牛顿第二定律中的弹力项。
3拉格朗日方程
弹簧振子的运动微分方程也可以用拉格朗日定理推导出来。拉格朗日函数定义为
(9)
有
将方程(10)和方程(11)代入拉格朗日方程
(12)
等式(2)可以在完成后获得。
4哈密顿正则方程
通过参考拉格朗日函数的导数方程(10)和方程(11)，可以类似地定义广义动量
(13)
有
(14)
哈密顿函数的表达式可以由拉格朗日函数的勒壤得转换得到
(15)
哈密顿正则方程可以通过求导得到
等式(2)可以通过联立等式(16)和(17)并消除广义动量p来获得。
另外，从等式(6)和等式(15)可以看出
(18)
即对于弹簧振子，系统的哈密顿函数是其机械能，所以满足机械能守恒定律
(19)
5哈密顿原理
上面提到的拉格朗日方程和哈密顿正则方程，其实都可以从哈密顿原理推导出来。哈密尔顿原理，也称最小作用原理，是数学家哈密尔顿在1834年发表的一个完备系统的变分原理，即哈密尔顿作用的变化为零
(20)
对于弹簧振子，哈密顿量定义为
(21)
通过变分方程(21)，我们可以得到
(22)
由此可见，拉格朗日方程(12)可以在哈密顿作用变分并进行部分积分后导出。
同样，哈密顿函数表示的哈密顿量是
(23)
上述公式可以用变分法得到
(24)
可以看出，哈密顿正则方程(16)和(17)也可以在哈密顿作用经过变分和部分积分后得到。
如果拉格朗日函数的显式表达式已知，可以直接代入哈密顿量得到
(25)
那么直接变化是可用的
(26)
牛顿第二定律可以直接推导出来。
6讨论
综上所述，这五个机械原理有着非常强的内在逻辑关系，但它们的各种关系却纵横交错，让初学者感到困惑，对提高教师的教学效率、减轻学生的学习负担提出了很大的挑战。所以我们把他们的关系包含在图3中，这样老师和学生就可以更清晰的梳理他们的脉络。
从图3可以看出，利用牛顿第二定律可以直接建立力和加速度的关系，从而得到运动微分方程。在此基础上，通过运动方程的初始积分，可以得到机械能守恒定律。机械能微分时间，就可以得到牛顿第二定律。然后定义拉格朗日函数，利用拉格朗日定理可以推导出牛顿第二定律。同样，牛顿第二定律可以通过勒壤得转换引入哈密顿函数，由哈密顿正则方程导出。实际上，机械能守恒定律，即哈密顿函数对时间的导数为零，是哈密顿正则方程的方程之一。但是哈密顿原理比之前的四个定理更具有普适性。通过变分哈密顿量，可以直接推导出拉格朗日函数和哈密顿正则方程，也可以直接推导出牛顿第二定律。
7结论
以弹簧振子为例，详细阐述了牛顿第二定律、机械能守恒、拉格朗日方程、哈密顿正则方程和哈密顿变分原理五个力学原理之间的相互关系。从力的角度分析牛顿第二定律，从能量的角度分析机械能守恒定理、拉格朗日方程和哈密顿正则方程。哈密顿变分原理是一个更一般的力学原理，拉格朗日方程、哈密顿正则方程和运动微分方程都可以由其变分原理推导出来。
弹簧振子虽然比较简单，但是从内部可以看出以上五个力学原理的统一。其实对于更复杂的系统，上面的定理也可以用来处理，只是对于不同的问题方便程度不同。比如对于约束条件多的复杂系统，应用牛顿第二定律比较麻烦，但是如果使用拉格朗日方程，工作量可以大大减少。再比如，对于弹性结构(梁、杆、板、壳、体等)的变形和运动。)，拉格朗日方程可用哈密顿变分原理直接导出，简化的拉格朗日方程为其控制方程，可用于工程结构的优化分析。总之，探索上述定理的应用是一个永恒的目标，现在正扩展到更多的领域。
参考文献
[1]刘建林.工程力学中的类比研究方法[J].国际机械工程教育杂志，2013，41(27): 136-145。
杜义江、沈。引用该论文王志平，王志平，王志平.飞行力学，2018，36(5): 11-15。
杜延杰，沈振杰。基于拉格朗日方程的空中拖缆建模与仿真[J]。飞行动力学，2018，36(5): 11-15。(中文)
[3]屈安靖。现代数学史研究的一条路径——以拉格朗日和高斯的代数方程理论为例[J]。科学技术哲学研究，2018，35(6): 67-85。
《现代数学史的一条路线》:拉格朗日和高斯代数方程的例子[J]。科学技术哲学研究，2018，35(6): 67-85。(中文)
-彭，何志。引用该论文王志平，王志平，王志平.科技咨询，2018，6: 36-37。
引用该论文王志平，王志平，王志平，王志平，王志平，王志平.科技顾问，2018，6: 36-37。(中文)
石成、张亚男、雷勇。引用该论文王志平，王志平，王志平.物理与工程，2018，28(2): 99-103。
郑s，张永宁，雷勇.考虑力学和电学的系统中的拉格朗日方程[J].物理与工程，2018，28(2): 99-103。(中文)
毛荣宝。引用该论文王志平，王志平.沈阳工业大学学报，1994，13(1): 73-76。
毛瑞斌。哈密顿正则方程应用初探[J]。沈阳工业学院学报，1994，13(1): 73-76。(中文)
[7] 张光辉。基于哈密顿正则方程的超细长弹性杆数值模拟[J]20 .科学技术与工程， 2010, 10(18): 4466-4468.
张广海。基于哈密顿正则方程的超细长弹性杆的数值模拟[J]20 .科学技术与工程，2010,10(18): 4466-4468。（中文)
[8] 肖得恩，姚素芳。一般完整系统中的哈密顿正则方程[J]20 .黑龙江大学自然科学学报， 1995, 12(2): 89-92.
引用该论文王志平，王志平，王志平，王志平。黑龙江大学自然科学学报，1995,12(2): 89-92。（中文)
[9] 王治国，唐立民。弹性力学中哈密顿正则方程的可分型及其有限元法[J]20 .工程力学， 1995, 12(1): 10-18.
王振国，唐立明。弹性力学中哈密顿正则方程的可分型及其有限元[J]。工程力学，1995,12(1): 10-18。（中文)
[10] KIM J，LEE H，SHIN J .应用于杜芬振荡的哈密顿原理的扩展框架[J]。应用数学与计算，2020,367: 124762。
[11]动态弹性力学的哈密顿原理[J]。应用数学快报，2017,72: 65-69。
引文格式： 刘建林。讲授力学原理统一性——以弹簧振子为例[J]20 .物理与工程，2020,30(4):69-72,83.
目标